Решение задач на тему

«Представление чисел в компьютере».

Уровень «3»

1. Пусть для представления целых чисел в компьютере используется 16 - разрядная ячейка (2 байта). Определить каков диапазон хранимых чисел, если: а) используются только положительные числа; б) используются как положительные, так и отрицательные числа в равном количестве.

Решение:

Всего в 16 – разрядной сетке может храниться 2¹⁶ =65536 значений. Следовательно:

а) диапазон значений  только положительных чисел от 0 до 65535 (от 0 до 2^k -1, 1 отняли, так как одно значение пошло на кодировку числа 0);

б) диапазон значений положительных и отрицательных чисел в равном количестве рассчитаем так: 65536:2= 32768. Минимальное отрицательное число равно -32768. Так как число 0 также входит в этот диапазон, то максимальное положительное число будет равно 32767 (от -2 ^k-1 до 2 ^k-1 -1, действительно, так как 2^k:2=2 ^k-1).

Ответ: а) от 0 до 65535; б) от -32768 до 32767.

Уровень «4»

_2. Получить десятичное представление числа по его дополнительному коду 100101112

Решение:

1.) Инвертируем дополнительный код 10010111₂.

        Получим 01101000 – обратный код

2) Прибавим к полученному числу 1. Получим  число 01101001

3) Переведем полученную запись числа из двоичной в 10-ю форму. Получим число 105.

4) Перед полученным числом поставим знак «-»

Ответ: -105

 Уровень «5»

3.  Минимальное значение математического порядка в десятич­ной системе счисления равно (-1024). Чему равно смещение?

Решение:

Машинный порядок смещен относительно математичес­кого и имеет только положительные значения. Смещение вы­бирается так, чтобы минимальному математическому зна­чению порядка соответствовал нуль.

Связь между машинным порядком (Мр) и математическим (р) в рассматриваемом случае выражается формулой: Мр = р + 64, где 64 - смещение для представления в 64 байтовой ячейке памяти.

Если представить это на шкале,  то имеем:

-64                         0                              63

В данной задаче Минимальное значение математического порядка в десятич­ной системе счисления равно (-1024).

На шкале это можно представить так:

-1024                     0                         1023

Легко видеть, смещение равно 1024.

Ответ: 1024.

4. Получить шестнадцатеричную форму внутреннего представ­ления отрицательного числа -123,125 в формате с плавающей точкой в 4-х байтовой ячейке. ?

Решение:

Используем алгоритм  записи внутреннего представления вещественного числа:

1. Переведем модуль числа в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами.

123₁₀ =1111011₂   0,125₁₀ =0, 001₂

123,125₁₀  =1111011, 00100000000000000₂ (4 байта-32 разряда, 1 байт на знак и порядок, 3 байта или 24 бита на мантиссу)

2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей запятой:

0, 111101100100000000000000 х 10₂ ¹¹¹  (111₂ =7¹⁰ )

3. Вычислим машинный порядок в двоичной системе счисления.

Мр₂ = р₂ + 100 0000₂ = 111₂ + 100 0000₂ = 1000111₂

4. Запишем представление числа в 4-х байтовой ячейке па­мяти с учетом знака числа:

Шестнадцатеричная форма: - 47F64000.

Ответ: - 47F64000

5. В «игрушечном» компьютере для представления веществен­ных чисел используется однобайтовая ячейка памяти (биты нумеруются от 0 до 7 справа налево). 7-й бит — знак числа; 5 и 6 биты — машинный порядок; 4 — 0 биты — мантисса. Оп­ределить: 1) количество точно представимых вещественных чисел; 2) 7 наименьших десятичных чисел, представимых точно в таком компьютере.

Решение:

1.) Количество вещественных чисел, точно представимых в памяти компьютера, вычисляется по формуле: N = 2 ^t х (U - L + 1) + 1.

Здесь t — количество дво­ичных разрядов мантиссы; U — максимальное значение мате­матического порядка; L — минимальное значение порядка.

Знак числа              Машинный порядок      М                а           н         т             и              с           с           а

t =5. Максимальное значение машинного порядка 11₂ =3₁₀ . Всего значений порядка 4, L=-4:2 =-2, U=4:2-1=1

N = 2 ⁵ х (1 - 2 + 1) + 1 = 129.

Ответ: 129.

2.) Первое наименьшее число:

0,00001₂ =1/2⁵ = 0,03125

Второе наименьшее число 0,00010₂ =1/2⁴ =0,0625

Третье наименьшее число 0,00011₂ =1/2⁴ +  1/2⁵ =0,0625 +0,03125 =0,09375

Четвертое наименьшее число 0,00100₂ =1/2³   = 0,125

Пятое  наименьшее число 0,00101₂ =1/2³  + 1/2⁵  = 0,125+ 0,03125 =0,15625

Шестое  наименьшее число 0,00110₂ =1/2³  + 1/2⁴  = 0,125+0,0625 =0,1875

Седьмое наименьшее число 0,00111₂ =1/2³  + 1/2⁴ + 1/2⁵  = 0,125+0,0625+ 0,03125

 =0,21875

Ответ: 0,03125; 0,0625; 0,09375; 0,125; 0,15625; 0,1875; 0,21875

Уровень «4»

6. Произвести сложение, вычитание, умножение и деление чисел 0,1×2² и 0,1×2^-2  в формате с плавающей запятой.

Решение:

Произведем выравнивание порядков и сложение мантисс:

0,1×2^-2  = Х × 2² ,          Х = ( 0,1×2^-2  )/ 2²= 0,1×2^-4 = 0,00001

        0,10000 ×2²

       ⁺0,00001 ×2²

         0,10001×2⁵

Произведем вычитание мантисс и процедуру нормализации:

        0,10000 ×2²

       ^- 0,00001 ×2²

         0,01111×2² = 0,1111×2¹

Используем алгоритм умножения: сложим порядки и перемножим мантиссы.

         0,10000 ×2²

       ^х 0,00001 ×2²

       0,000001 ×2⁴ , нормализуем ответ 0,1×2^-1

Используем алгоритм деления чисел в формате с плавающей запятой: из порядка делимого вычесть порядок делителя, мантиссу делимого делить на мантиссу делителя.

         0,10000 ×2²

       ^: 0,00001 ×2²

          10 000 ×2⁰, нормализуем ответ 0,1×2⁵

Ответ: 0,10001×2⁵;   0,1111×2¹;  0,1×2^-1 ;   0,1×2⁵